Производная log(1+sqrt(x))

Вы ввели

   /      ___\
log\1 + \/ x /

$$\log{\left (\sqrt{x} + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sqrt{x} + 1$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\sqrt{x} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $\sqrt{x} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      В результате: $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{2 \sqrt{x} + 2 x}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2 \sqrt{x} + 2 x}$

Первая производная

         1         
-------------------
    ___ /      ___\
2*\/ x *\1 + \/ x /

$$\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)}$$

Вторая производная

 / 1           1      \ 
-|---- + -------------| 
 | 3/2     /      ___\| 
 \x      x*\1 + \/ x // 
------------------------
       /      ___\      
     4*\1 + \/ x /      

$$- \frac{\frac{1}{x \left(\sqrt{x} + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x} + 4}$$

Третья производная

 3             2                 3       
---- + ----------------- + --------------
 5/2                   2    2 /      ___\
x       3/2 /      ___\    x *\1 + \/ x /
       x   *\1 + \/ x /                  
-----------------------------------------
                /      ___\              
              8*\1 + \/ x /              

$$\frac{1}{8 \sqrt{x} + 8} \left(\frac{3}{x^{2} \left(\sqrt{x} + 1\right)} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}} + \frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}\right)$$