Производная log(1+log(x))

Вы ввели

log(1 + log(x))

$$\log{\left(\log{\left(x \right)} + 1 \right)}$$

d                  
--(log(1 + log(x)))
dx                 

$$\frac{d}{d x} \log{\left(\log{\left(x \right)} + 1 \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left(x \right)} + 1$.

2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $\log{\left(x \right)} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная $\log{\left(x \right)}$ является $\frac{1}{x}$.

      В результате: $\frac{1}{x}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{1}{x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}$

Первая производная

      1       
--------------
x*(1 + log(x))

$$\frac{1}{x \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}$$

Вторая производная

 /        1     \ 
-|1 + ----------| 
 \    1 + log(x)/ 
------------------
  2               
 x *(1 + log(x))  

$$- \frac{1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)} + 1}}{x^{2} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}$$

Третья производная

          2             3     
2 + ------------- + ----------
                2   1 + log(x)
    (1 + log(x))              
------------------------------
        3                     
       x *(1 + log(x))        

$$\frac{2 + \frac{3}{\log{\left(x \right)} + 1} + \frac{2}{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}}{x^{3} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}$$

График