Производная log(1+log(x)^(2))

Вы ввели

   /       2   \
log\1 + log (x)/

$$\log{\left (\log^{2}{\left (x \right )} + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log^{2}{\left (x \right )} + 1$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\log^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $\log^{2}{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Заменим $u = \log{\left (x \right )}$.

      3. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (x \right )}$:

         1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

         В результате последовательности правил:

         $\frac{2}{x} \log{\left (x \right )}$

      В результате: $\frac{2}{x} \log{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 \log{\left (x \right )}}{x \left(\log^{2}{\left (x \right )} + 1\right)}$

---

Ответ:

$\frac{2 \log{\left (x \right )}}{x \left(\log^{2}{\left (x \right )} + 1\right)}$

Первая производная

    2*log(x)   
---------------
  /       2   \
x*\1 + log (x)/

$$\frac{2 \log{\left (x \right )}}{x \left(\log^{2}{\left (x \right )} + 1\right)}$$

Вторая производная

  /                   2    \
  |              2*log (x) |
2*|1 - log(x) - -----------|
  |                    2   |
  \             1 + log (x)/
----------------------------
       2 /       2   \      
      x *\1 + log (x)/      

$$\frac{1}{x^{2} \left(\log^{2}{\left (x \right )} + 1\right)} \left(- 2 \log{\left (x \right )} + 2 - \frac{4 \log^{2}{\left (x \right )}}{\log^{2}{\left (x \right )} + 1}\right)$$

Третья производная

  /                                    2              3      \
  |                  6*log(x)     6*log (x)      8*log (x)   |
2*|-3 + 2*log(x) - ----------- + ----------- + --------------|
  |                       2             2                   2|
  |                1 + log (x)   1 + log (x)   /       2   \ |
  \                                            \1 + log (x)/ /
--------------------------------------------------------------
                        3 /       2   \                       
                       x *\1 + log (x)/                       

$$\frac{1}{x^{3} \left(\log^{2}{\left (x \right )} + 1\right)} \left(4 \log{\left (x \right )} - 6 + \frac{12 \log^{2}{\left (x \right )}}{\log^{2}{\left (x \right )} + 1} - \frac{12 \log{\left (x \right )}}{\log^{2}{\left (x \right )} + 1} + \frac{16 \log^{3}{\left (x \right )}}{\left(\log^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}\right)$$