Производная log(1+sin(3*x))

Вы ввели

log(1 + sin(3*x))

$$\log{\left (\sin{\left (3 x \right )} + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (3 x \right )} + 1$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\sin{\left (3 x \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $\sin{\left (3 x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Заменим $u = 3 x$.

      3. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(3 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $3$

         В результате последовательности правил:

         $3 \cos{\left (3 x \right )}$

      В результате: $3 \cos{\left (3 x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{3 \cos{\left (3 x \right )}}{\sin{\left (3 x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{3 \cos{\left (3 x \right )}}{\sin{\left (3 x \right )} + 1}$

Первая производная

 3*cos(3*x) 
------------
1 + sin(3*x)

$$\frac{3 \cos{\left (3 x \right )}}{\sin{\left (3 x \right )} + 1}$$

Вторая производная

   /    2                  \
   | cos (3*x)             |
-9*|------------ + sin(3*x)|
   \1 + sin(3*x)           /
----------------------------
        1 + sin(3*x)        

$$- \frac{1}{\sin{\left (3 x \right )} + 1} \left(9 \sin{\left (3 x \right )} + \frac{9 \cos^{2}{\left (3 x \right )}}{\sin{\left (3 x \right )} + 1}\right)$$

Третья производная

   /            2                      \         
   |       2*cos (3*x)      3*sin(3*x) |         
27*|-1 + --------------- + ------------|*cos(3*x)
   |                   2   1 + sin(3*x)|         
   \     (1 + sin(3*x))                /         
-------------------------------------------------
                   1 + sin(3*x)                  

$$\frac{27 \cos{\left (3 x \right )}}{\sin{\left (3 x \right )} + 1} \left(-1 + \frac{3 \sin{\left (3 x \right )}}{\sin{\left (3 x \right )} + 1} + \frac{2 \cos^{2}{\left (3 x \right )}}{\left(\sin{\left (3 x \right )} + 1\right)^{2}}\right)$$