Производная log(1+sin(8*x))

Вы ввели

log(1 + sin(8*x))

$$\log{\left (\sin{\left (8 x \right )} + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (8 x \right )} + 1$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\sin{\left (8 x \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $\sin{\left (8 x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Заменим $u = 8 x$.

      3. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(8 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $8$

         В результате последовательности правил:

         $8 \cos{\left (8 x \right )}$

      В результате: $8 \cos{\left (8 x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{8 \cos{\left (8 x \right )}}{\sin{\left (8 x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{8 \cos{\left (8 x \right )}}{\sin{\left (8 x \right )} + 1}$

Первая производная

 8*cos(8*x) 
------------
1 + sin(8*x)

$$\frac{8 \cos{\left (8 x \right )}}{\sin{\left (8 x \right )} + 1}$$

Вторая производная

    /    2                  \
    | cos (8*x)             |
-64*|------------ + sin(8*x)|
    \1 + sin(8*x)           /
-----------------------------
         1 + sin(8*x)        

$$- \frac{1}{\sin{\left (8 x \right )} + 1} \left(64 \sin{\left (8 x \right )} + \frac{64 \cos^{2}{\left (8 x \right )}}{\sin{\left (8 x \right )} + 1}\right)$$

Третья производная

    /            2                      \         
    |       2*cos (8*x)      3*sin(8*x) |         
512*|-1 + --------------- + ------------|*cos(8*x)
    |                   2   1 + sin(8*x)|         
    \     (1 + sin(8*x))                /         
--------------------------------------------------
                   1 + sin(8*x)                   

$$\frac{512 \cos{\left (8 x \right )}}{\sin{\left (8 x \right )} + 1} \left(-1 + \frac{3 \sin{\left (8 x \right )}}{\sin{\left (8 x \right )} + 1} + \frac{2 \cos^{2}{\left (8 x \right )}}{\left(\sin{\left (8 x \right )} + 1\right)^{2}}\right)$$