Производная log(1+sin(x))

Вы ввели

log(1 + sin(x))

$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )} + 1$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $\sin{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате: $\cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 1}$

Первая производная

  cos(x)  
----------
1 + sin(x)

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 1}$$

Вторая производная

 /    2              \ 
 | cos (x)           | 
-|---------- + sin(x)| 
 \1 + sin(x)         / 
-----------------------
       1 + sin(x)      

$$- \frac{1}{\sin{\left (x \right )} + 1} \left(\sin{\left (x \right )} + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 1}\right)$$

Третья производная

/            2                  \       
|       2*cos (x)      3*sin(x) |       
|-1 + ------------- + ----------|*cos(x)
|                 2   1 + sin(x)|       
\     (1 + sin(x))              /       
----------------------------------------
               1 + sin(x)               

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 1} \left(-1 + \frac{3 \sin{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 1} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}\right)$$