Производная log(1+sin(x/2))

Вы ввели

   /       /x\\
log|1 + sin|-||
   \       \2//

$$\log{\left (\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

      3. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{2}\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      В результате: $\frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\cos{\left (\frac{x}{2} \right )}}{2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{\cos{\left (\frac{x}{2} \right )}}{2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2}$

---

Ответ:

$\frac{\cos{\left (\frac{x}{2} \right )}}{2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2}$

Первая производная

       /x\    
    cos|-|    
       \2/    
--------------
  /       /x\\
2*|1 + sin|-||
  \       \2//

$$\frac{\cos{\left (\frac{x}{2} \right )}}{2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2}$$

Вторая производная

 /    2/x\           \ 
 | cos |-|           | 
 |     \2/        /x\| 
-|---------- + sin|-|| 
 |       /x\      \2/| 
 |1 + sin|-|         | 
 \       \2/         / 
-----------------------
       /       /x\\    
     4*|1 + sin|-||    
       \       \2//    

$$- \frac{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1}}{4 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + 4}$$

Третья производная

/            2/x\           /x\ \       
|       2*cos |-|      3*sin|-| |       
|             \2/           \2/ |    /x\
|-1 + ------------- + ----------|*cos|-|
|                 2          /x\|    \2/
|     /       /x\\    1 + sin|-||       
|     |1 + sin|-||           \2/|       
\     \       \2//              /       
----------------------------------------
               /       /x\\             
             8*|1 + sin|-||             
               \       \2//             

$$\frac{\cos{\left (\frac{x}{2} \right )}}{8 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + 8} \left(-1 + \frac{3 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1} + \frac{2 \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\left(\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right)^{2}}\right)$$