Производная log(1+sin(x)^(2))

Вы ввели

   /       2   \
log\1 + sin (x)/

$$\log{\left (\sin^{2}{\left (x \right )} + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin^{2}{\left (x \right )} + 1$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $\sin^{2}{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

      3. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

         В результате последовательности правил:

         $2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

      В результате: $2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )} + 1}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 \sin{\left (2 x \right )}}{- \cos{\left (2 x \right )} + 3}$

---

Ответ:

$\frac{2 \sin{\left (2 x \right )}}{- \cos{\left (2 x \right )} + 3}$

Первая производная

2*cos(x)*sin(x)
---------------
         2     
  1 + sin (x)  

$$\frac{2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )} + 1}$$

Вторая производная

  /                         2       2   \
  |   2         2      2*cos (x)*sin (x)|
2*|cos (x) - sin (x) - -----------------|
  |                              2      |
  \                       1 + sin (x)   /
-----------------------------------------
                      2                  
               1 + sin (x)               

$$\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )} + 1} \left(- 2 \sin^{2}{\left (x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (x \right )} - \frac{4 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )} + 1}\right)$$

Третья производная

  /           2             2            2       2   \              
  |      3*cos (x)     3*sin (x)    4*cos (x)*sin (x)|              
4*|-2 - ----------- + ----------- + -----------------|*cos(x)*sin(x)
  |            2             2                     2 |              
  |     1 + sin (x)   1 + sin (x)     /       2   \  |              
  \                                   \1 + sin (x)/  /              
--------------------------------------------------------------------
                                   2                                
                            1 + sin (x)                             

$$\frac{4 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )} + 1} \left(-2 + \frac{3 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )} + 1} - \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )} + 1} + \frac{4 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}\right)$$