Производная log((1+t)/(1-t))

Вы ввели

   /1 + t\
log|-----|
   \1 - t/

$$\log{\left (\frac{t + 1}{- t + 1} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{t + 1}{- t + 1}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t}\left(\frac{t + 1}{- t + 1}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d t}\left(\frac{f{\left (t \right )}}{g{\left (t \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (t \right )}} \left(- f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}\right)$

      $f{\left (t \right )} = t + 1$ и $g{\left (t \right )} = - t + 1$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

      1. дифференцируем $t + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

         В результате: $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

      1. дифференцируем $- t + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{2}{\left(- t + 1\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2}{\left(- t + 1\right) \left(t + 1\right)}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2}{t^{2} - 1}$

---

Ответ:

$- \frac{2}{t^{2} - 1}$

Первая производная

        /  1      1 + t  \
(1 - t)*|----- + --------|
        |1 - t          2|
        \        (1 - t) /
--------------------------
          1 + t           

$$\frac{1}{t + 1} \left(- t + 1\right) \left(\frac{1}{- t + 1} + \frac{t + 1}{\left(- t + 1\right)^{2}}\right)$$

Вторая производная

/    1 + t \ /    1       1   \
|1 - ------|*|- ----- - ------|
\    -1 + t/ \  1 + t   -1 + t/
-------------------------------
             1 + t             

$$\frac{1}{t + 1} \left(1 - \frac{t + 1}{t - 1}\right) \left(- \frac{1}{t + 1} - \frac{1}{t - 1}\right)$$

Третья производная

  /    1 + t \ /   1           1              1        \
2*|1 - ------|*|-------- + --------- + ----------------|
  \    -1 + t/ |       2           2   (1 + t)*(-1 + t)|
               \(1 + t)    (-1 + t)                    /
--------------------------------------------------------
                         1 + t                          

$$\frac{2}{t + 1} \left(1 - \frac{t + 1}{t - 1}\right) \left(\frac{1}{\left(t + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(t - 1\right) \left(t + 1\right)} + \frac{1}{\left(t - 1\right)^{2}}\right)$$