Производная log(1+tan(x))

Вы ввели

log(1 + tan(x))

$$\log{\left (\tan{\left (x \right )} + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )} + 1$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $\tan{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате: $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\tan{\left (x \right )} + 1\right) \cos^{2}{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 \sqrt{2}}{2 \sin{\left (2 x + \frac{\pi}{4} \right )} + \sqrt{2}}$

---

Ответ:

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \sin{\left (2 x + \frac{\pi}{4} \right )} + \sqrt{2}}$

Первая производная

       2   
1 + tan (x)
-----------
 1 + tan(x)

$$\frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan{\left (x \right )} + 1}$$

Вторая производная

              /                  2   \
/       2   \ |           1 + tan (x)|
\1 + tan (x)/*|2*tan(x) - -----------|
              \            1 + tan(x)/
--------------------------------------
              1 + tan(x)              

$$\frac{1}{\tan{\left (x \right )} + 1} \left(2 \tan{\left (x \right )} - \frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan{\left (x \right )} + 1}\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                /                             2                         \
                |                /       2   \      /       2   \       |
  /       2   \ |         2      \1 + tan (x)/    3*\1 + tan (x)/*tan(x)|
2*\1 + tan (x)/*|1 + 3*tan (x) + -------------- - ----------------------|
                |                            2          1 + tan(x)      |
                \                (1 + tan(x))                           /
-------------------------------------------------------------------------
                                1 + tan(x)                               

$$\frac{2}{\tan{\left (x \right )} + 1} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left (x \right )} + 1 - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )}}{\tan{\left (x \right )} + 1} + \frac{\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}\right)$$