Производная log(1+x)/(1-x)

Вы ввели

log(1 + x)
----------
  1 - x   

$$\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{1 - x}$$

d /log(1 + x)\
--|----------|
dx\  1 - x   /

$$\frac{d}{d x} \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{1 - x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \log{\left(x + 1 \right)}$ и $g{\left(x \right)} = 1 - x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = x + 1$.

   2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x + 1}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $1 - x$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-1$

      В результате: $-1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\frac{1 - x}{x + 1} + \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(1 - x\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{- x + \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)} + 1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)}$

---

Ответ:

$\frac{- x + \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)} + 1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)}$

Первая производная

       1          log(1 + x)
--------------- + ----------
(1 + x)*(1 - x)           2 
                   (1 - x)  

$$\frac{1}{\left(1 - x\right) \left(x + 1\right)} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\left(1 - x\right)^{2}}$$

Вторая производная

   1       2*log(1 + x)          2        
-------- - ------------ + ----------------
       2            2     (1 + x)*(-1 + x)
(1 + x)     (-1 + x)                      
------------------------------------------
                  -1 + x                  

$$\frac{\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} - \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{x - 1}$$

Третья производная

     2               6                   3           6*log(1 + x)
- -------- - ----------------- - ----------------- + ------------
         3                   2          2                     3  
  (1 + x)    (1 + x)*(-1 + x)    (1 + x) *(-1 + x)    (-1 + x)   
-----------------------------------------------------------------
                              -1 + x                             

$$\frac{- \frac{2}{\left(x + 1\right)^{3}} - \frac{3}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}} - \frac{6}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)} + \frac{6 \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x - 1\right)^{3}}}{x - 1}$$

График