Производная log(1+x)/x

Вы ввели

log(1 + x)
----------
    x     

$$\frac{1}{x} \log{\left (x + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (x + 1 \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x + 1$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 1\right)$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x + 1}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(\frac{x}{x + 1} - \log{\left (x + 1 \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x^{2} \left(x + 1\right)} \left(x - \left(x + 1\right) \log{\left (x + 1 \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2} \left(x + 1\right)} \left(x - \left(x + 1\right) \log{\left (x + 1 \right )}\right)$

Первая производная

    1       log(1 + x)
--------- - ----------
x*(1 + x)        2    
                x     

$$\frac{1}{x \left(x + 1\right)} - \frac{1}{x^{2}} \log{\left (x + 1 \right )}$$

Вторая производная

     1           2       2*log(1 + x)
- -------- - --------- + ------------
         2   x*(1 + x)         2     
  (1 + x)                     x      
-------------------------------------
                  x                  

$$\frac{1}{x} \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} + \frac{2}{x^{2}} \log{\left (x + 1 \right )}\right)$$

Третья производная

   2       6*log(1 + x)       3            6     
-------- - ------------ + ---------- + ----------
       3         3                 2    2        
(1 + x)         x         x*(1 + x)    x *(1 + x)
-------------------------------------------------
                        x                        

$$\frac{1}{x} \left(\frac{2}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{3}{x \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{6}{x^{2} \left(x + 1\right)} - \frac{6}{x^{3}} \log{\left (x + 1 \right )}\right)$$