Производная log(sec(x)+tan(x))

Вы ввели

log(sec(x) + tan(x))

$$\log{\left (\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}\right)$:

   1. дифференцируем $\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}$ почленно:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. Производная секанса есть секанс, умноженный на тангенс:

            $\frac{d}{d x} \sec{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$

      2. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате: $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{1}{\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}} \left(\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}\right)$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\cos{\left (x \right )}}$

Первая производная

       2                   
1 + tan (x) + sec(x)*tan(x)
---------------------------
      sec(x) + tan(x)      

$$\frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 1}{\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                                                                     2                         
                                        /       2                   \                          
   2             /       2   \          \1 + tan (x) + sec(x)*tan(x)/      /       2   \       
tan (x)*sec(x) + \1 + tan (x)/*sec(x) - ------------------------------ + 2*\1 + tan (x)/*tan(x)
                                               sec(x) + tan(x)                                 
-----------------------------------------------------------------------------------------------
                                        sec(x) + tan(x)                                        

$$\frac{1}{\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}} \left(2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sec{\left (x \right )} + \tan^{2}{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} - \frac{\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

                                                                   3                                                                                                                                                             
               2                      /       2                   \                                /       2                   \ /   2             /       2   \            /       2   \       \                                
  /       2   \       3             2*\1 + tan (x) + sec(x)*tan(x)/         2    /       2   \   3*\1 + tan (x) + sec(x)*tan(x)/*\tan (x)*sec(x) + \1 + tan (x)/*sec(x) + 2*\1 + tan (x)/*tan(x)/     /       2   \              
2*\1 + tan (x)/  + tan (x)*sec(x) + -------------------------------- + 4*tan (x)*\1 + tan (x)/ - ------------------------------------------------------------------------------------------------ + 5*\1 + tan (x)/*sec(x)*tan(x)
                                                            2                                                                            sec(x) + tan(x)                                                                         
                                           (sec(x) + tan(x))                                                                                                                                                                     
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                         sec(x) + tan(x)                                                                                                         

$$\frac{1}{\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}} \left(2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 4 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} + 5 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + \tan^{3}{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} - \frac{3}{\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}} \left(2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sec{\left (x \right )} + \tan^{2}{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 1\right)^{3}}{\left(\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}\right)^{2}}\right)$$