Производная log(sin(sqrt(x)))

Вы ввели

   /   /  ___\\
log\sin\\/ x //

$$\log{\left (\sin{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (\sqrt{x} \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (\sqrt{x} \right )}$:

   1. Заменим $u = \sqrt{x}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

      1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\cos{\left (\sqrt{x} \right )}}{2 \sqrt{x}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\cos{\left (\sqrt{x} \right )}}{2 \sqrt{x} \sin{\left (\sqrt{x} \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{2 \sqrt{x} \tan{\left (\sqrt{x} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2 \sqrt{x} \tan{\left (\sqrt{x} \right )}}$

Первая производная

       /  ___\    
    cos\\/ x /    
------------------
    ___    /  ___\
2*\/ x *sin\\/ x /

$$\frac{\cos{\left (\sqrt{x} \right )}}{2 \sqrt{x} \sin{\left (\sqrt{x} \right )}}$$

Вторая производная

 /        2/  ___\          /  ___\  \ 
 |1    cos \\/ x /       cos\\/ x /  | 
-|- + ------------- + ---------------| 
 |x        2/  ___\    3/2    /  ___\| 
 \    x*sin \\/ x /   x   *sin\\/ x // 
---------------------------------------
                   4                   

$$- \frac{1}{4} \left(\frac{1}{x} + \frac{\cos^{2}{\left (\sqrt{x} \right )}}{x \sin^{2}{\left (\sqrt{x} \right )}} + \frac{\cos{\left (\sqrt{x} \right )}}{x^{\frac{3}{2}} \sin{\left (\sqrt{x} \right )}}\right)$$

Третья производная

           3/  ___\            /  ___\         2/  ___\           /  ___\ 
3     2*cos \\/ x /       2*cos\\/ x /    3*cos \\/ x /      3*cos\\/ x / 
-- + ---------------- + --------------- + -------------- + ---------------
 2    3/2    3/  ___\    3/2    /  ___\    2    2/  ___\    5/2    /  ___\
x    x   *sin \\/ x /   x   *sin\\/ x /   x *sin \\/ x /   x   *sin\\/ x /
--------------------------------------------------------------------------
                                    8                                     

$$\frac{1}{8} \left(\frac{3}{x^{2}} + \frac{3 \cos^{2}{\left (\sqrt{x} \right )}}{x^{2} \sin^{2}{\left (\sqrt{x} \right )}} + \frac{2 \cos{\left (\sqrt{x} \right )}}{x^{\frac{3}{2}} \sin{\left (\sqrt{x} \right )}} + \frac{2 \cos^{3}{\left (\sqrt{x} \right )}}{x^{\frac{3}{2}} \sin^{3}{\left (\sqrt{x} \right )}} + \frac{3 \cos{\left (\sqrt{x} \right )}}{x^{\frac{5}{2}} \sin{\left (\sqrt{x} \right )}}\right)$$