Производная log(sin(x))/2

Вы ввели

log(sin(x))
-----------
     2     

$$\frac{1}{2} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{\cos{\left (x \right )}}{2 \sin{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{2 \tan{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2 \tan{\left (x \right )}}$

Первая производная

 cos(x) 
--------
2*sin(x)

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{2 \sin{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

 /       2   \ 
 |    cos (x)| 
-|1 + -------| 
 |       2   | 
 \    sin (x)/ 
---------------
       2       

$$- \frac{1}{2} \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

/       2   \       
|    cos (x)|       
|1 + -------|*cos(x)
|       2   |       
\    sin (x)/       
--------------------
       sin(x)       

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$