Производная log(sin(x)/x)

Вы ввели

   /sin(x)\
log|------|
   \  x   /

$$\log{\left (\frac{1}{x} \sin{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{1}{x} \sin{\left (x \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (x \right )}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{1}{x^{2}} \left(x \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}\right)$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{x \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}}{x \sin{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x} \left(\frac{x}{\tan{\left (x \right )}} - 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x} \left(\frac{x}{\tan{\left (x \right )}} - 1\right)$

Первая производная

  /cos(x)   sin(x)\
x*|------ - ------|
  |  x         2  |
  \           x   /
-------------------
       sin(x)      

$$\frac{x}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{1}{x} \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (x \right )}\right)$$

Вторая производная

            sin(x)                                  /  sin(x)         \       
          - ------ + cos(x)                         |- ------ + cos(x)|*cos(x)
              x               2*cos(x)   2*sin(x)   \    x            /       
-sin(x) + ----------------- - -------- + -------- - --------------------------
                  x              x           2                sin(x)          
                                            x                                 
------------------------------------------------------------------------------
                                    sin(x)                                    

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x} \sin{\left (x \right )}\right) - \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \left(\cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x} \sin{\left (x \right )}\right) - \frac{2}{x} \cos{\left (x \right )} + \frac{2}{x^{2}} \sin{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

               /  2*sin(x)   2*cos(x)         \                                                           /  2*sin(x)   2*cos(x)         \                                      
             2*|- -------- + -------- + sin(x)|                              2    /  sin(x)         \   2*|- -------- + -------- + sin(x)|*cos(x)     /  sin(x)         \       
               |      2         x             |                         2*cos (x)*|- ------ + cos(x)|     |      2         x             |          2*|- ------ + cos(x)|*cos(x)
  6*sin(x)     \     x                        /   2*sin(x)   6*cos(x)             \    x            /     \     x                        /            \    x            /       
- -------- - ---------------------------------- + -------- + -------- + ----------------------------- + ----------------------------------------- - ----------------------------
      3                      x                       x           2                    2                                   sin(x)                              x*sin(x)          
     x                                                          x                  sin (x)                                                                                      
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                     sin(x)                                                                                     

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(\cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x} \sin{\left (x \right )}\right) + \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\sin{\left (x \right )} + \frac{2}{x} \cos{\left (x \right )} - \frac{2}{x^{2}} \sin{\left (x \right )}\right) - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{x \sin{\left (x \right )}} \left(\cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x} \sin{\left (x \right )}\right) - \frac{1}{x} \left(2 \sin{\left (x \right )} + \frac{4}{x} \cos{\left (x \right )} - \frac{4}{x^{2}} \sin{\left (x \right )}\right) + \frac{2}{x} \sin{\left (x \right )} + \frac{6}{x^{2}} \cos{\left (x \right )} - \frac{6}{x^{3}} \sin{\left (x \right )}\right)$$