Производная log(sin(x))/x

Вы ввели

log(sin(x))
-----------
     x     

$$\frac{1}{x} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(\frac{x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(\frac{x}{\tan{\left (x \right )}} - \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2}} \left(\frac{x}{\tan{\left (x \right )}} - \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)$

Первая производная

  log(sin(x))    cos(x) 
- ----------- + --------
        2       x*sin(x)
       x                

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{x \sin{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Вторая производная

        2                              
     cos (x)   2*log(sin(x))   2*cos(x)
-1 - ------- + ------------- - --------
        2             2        x*sin(x)
     sin (x)         x                 
---------------------------------------
                   x                   

$$\frac{1}{x} \left(-1 - \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{x \sin{\left (x \right )}} + \frac{2}{x^{2}} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)$$

Третья производная

                         3                      2               
3   6*log(sin(x))   2*cos (x)   2*cos(x)   3*cos (x)    6*cos(x)
- - ------------- + --------- + -------- + --------- + ---------
x          3            3        sin(x)         2       2       
          x          sin (x)               x*sin (x)   x *sin(x)
----------------------------------------------------------------
                               x                                

$$\frac{1}{x} \left(\frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} + \frac{2 \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} + \frac{3}{x} + \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{x \sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{6 \cos{\left (x \right )}}{x^{2} \sin{\left (x \right )}} - \frac{6}{x^{3}} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)$$