Производная (log(sin(x))-x)^3

Вы ввели

                 3
(log(sin(x)) - x) 

$$\left(- x + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)^{3}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - x + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- x + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)$:

   1. дифференцируем $- x + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$ почленно:

      1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

      2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$

      4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-1$

      В результате: $-1 + \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $3 \left(-1 + \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}\right) \left(- x + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)^{2}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{3 \sqrt{2} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \left(x - \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)^{2}$

---

Ответ:

$\frac{3 \sqrt{2} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \left(x - \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)^{2}$

Первая производная

                 2 /     3*cos(x)\
(log(sin(x)) - x) *|-3 + --------|
                   \      sin(x) /

$$\left(-3 + \frac{3 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}\right) \left(- x + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)^{2}$$

Вторая производная

                     /              2   /       2   \                  \
                     |  /    cos(x)\    |    cos (x)|                  |
-3*(x - log(sin(x)))*|2*|1 - ------|  + |1 + -------|*(x - log(sin(x)))|
                     |  \    sin(x)/    |       2   |                  |
                     \                  \    sin (x)/                  /

$$- 3 \left(x - \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right) \left(\left(1 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) \left(x - \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right) + 2 \left(1 - \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}\right)^{2}\right)$$

Третья производная

  /                                                                                      /       2   \       \
  |                                                                                    2 |    cos (x)|       |
  |                                                                   (x - log(sin(x))) *|1 + -------|*cos(x)|
  |              3     /       2   \                                                     |       2   |       |
  |  /    cos(x)\      |    cos (x)| /    cos(x)\                                        \    sin (x)/       |
6*|- |1 - ------|  - 3*|1 + -------|*|1 - ------|*(x - log(sin(x))) + ---------------------------------------|
  |  \    sin(x)/      |       2   | \    sin(x)/                                      sin(x)                |
  \                    \    sin (x)/                                                                         /

$$6 \left(- 3 \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) \left(1 - \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}\right) \left(x - \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right) + \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) \left(x - \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)^{2} - \left(1 - \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}\right)^{3}\right)$$