Производная log((sin(x)+1)/x)

Вы ввели

   /sin(x) + 1\
log|----------|
   \    x     /

$$\log{\left (\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right) \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} + 1$ и $g{\left (x \right )} = x$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $\sin{\left (x \right )} + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

         В результате: $\cos{\left (x \right )}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{1}{x^{2}} \left(x \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1\right)$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{x \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1}{x \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{x \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1}{x \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)}$

---

Ответ:

$\frac{x \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1}{x \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)}$

Первая производная

  /cos(x)   sin(x) + 1\
x*|------ - ----------|
  |  x           2    |
  \             x     /
-----------------------
       sin(x) + 1      

$$\frac{x}{\sin{\left (x \right )} + 1} \left(\frac{1}{x} \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)\right)$$

Вторая производная

            1 + sin(x)                                        /  1 + sin(x)         \       
          - ---------- + cos(x)                               |- ---------- + cos(x)|*cos(x)
                x                 2*cos(x)   2*(1 + sin(x))   \      x              /       
-sin(x) + --------------------- - -------- + -------------- - ------------------------------
                    x                x              2                   1 + sin(x)          
                                                   x                                        
--------------------------------------------------------------------------------------------
                                         1 + sin(x)                                         

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )} + 1} \left(- \sin{\left (x \right )} - \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 1} \left(\cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)\right) + \frac{1}{x} \left(\cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)\right) - \frac{2}{x} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(2 \sin{\left (x \right )} + 2\right)\right)$$

Третья производная

                             /  2*(1 + sin(x))   2*cos(x)         \                                                            /  2*(1 + sin(x))   2*cos(x)         \                                                                              
                           2*|- -------------- + -------- + sin(x)|                         /  1 + sin(x)         \          2*|- -------------- + -------- + sin(x)|*cos(x)        2    /  1 + sin(x)         \     /  1 + sin(x)         \       
                             |         2            x             |                         |- ---------- + cos(x)|*sin(x)     |         2            x             |          2*cos (x)*|- ---------- + cos(x)|   2*|- ---------- + cos(x)|*cos(x)
          6*(1 + sin(x))     \        x                           /   3*sin(x)   6*cos(x)   \      x              /            \        x                           /                    \      x              /     \      x              /       
-cos(x) - -------------- - ---------------------------------------- + -------- + -------- + ------------------------------ + ----------------------------------------------- + --------------------------------- - --------------------------------
                 3                            x                          x           2                1 + sin(x)                                1 + sin(x)                                           2                      x*(1 + sin(x))         
                x                                                                   x                                                                                                    (1 + sin(x))                                              
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                     1 + sin(x)                                                                                                                    

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )} + 1} \left(- \cos{\left (x \right )} + \frac{\sin{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 1} \left(\cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)\right) + \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 1} \left(\sin{\left (x \right )} + \frac{2}{x} \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \left(2 \sin{\left (x \right )} + 2\right)\right) + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} \left(\cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)\right) - \frac{1}{x} \left(2 \sin{\left (x \right )} + \frac{4}{x} \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \left(4 \sin{\left (x \right )} + 4\right)\right) + \frac{3}{x} \sin{\left (x \right )} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{x \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)} \left(\cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)\right) + \frac{6}{x^{2}} \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{3}} \left(6 \sin{\left (x \right )} + 6\right)\right)$$