Производная log(sin(x))*cos(x)

Вы ввели

log(sin(x))*cos(x)

$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$

   $g{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   В результате: $- \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \sin{\left (x \right )} + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $- \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \sin{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \sin{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}$

Первая производная

   2                        
cos (x)                     
------- - log(sin(x))*sin(x)
 sin(x)                     

$$- \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \sin{\left (x \right )} + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

 /       2                 \       
 |    cos (x)              |       
-|3 + ------- + log(sin(x))|*cos(x)
 |       2                 |       
 \    sin (x)              /       

$$- \left(\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + 3 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) \cos{\left (x \right )}$$

Третья производная

                                     2           4   
                                2*cos (x)   2*cos (x)
3*sin(x) + log(sin(x))*sin(x) + --------- + ---------
                                  sin(x)        3    
                                             sin (x) 

$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \sin{\left (x \right )} + 3 \sin{\left (x \right )} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} + \frac{2 \cos^{4}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}$$