Производная log(sin(x))^(4)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   4        
log (sin(x))
log4(sin(x))\log^{4}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}
Подробное решение
  1. Заменим u=log(sin(x))u = \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}.

  2. В силу правила, применим: u4u^{4} получим 4u34 u^{3}

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxlog(sin(x))\frac{d}{d x} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}:

    1. Заменим u=sin(x)u = \sin{\left (x \right )}.

    2. Производная log(u)\log{\left (u \right )} является 1u\frac{1}{u}.

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxsin(x)\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}:

      1. Производная синуса есть косинус:

        ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}

      В результате последовательности правил:

      cos(x)sin(x)\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}

    В результате последовательности правил:

    4log3(sin(x))sin(x)cos(x)\frac{4 \log^{3}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )}

  4. Теперь упростим:

    4log3(sin(x))tan(x)\frac{4 \log^{3}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\tan{\left (x \right )}}


Ответ:

4log3(sin(x))tan(x)\frac{4 \log^{3}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\tan{\left (x \right )}}

График
02468-8-6-4-2-1010-5000050000
Первая производная [src]
     3               
4*log (sin(x))*cos(x)
---------------------
        sin(x)       
4log3(sin(x))sin(x)cos(x)\frac{4 \log^{3}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )}
Вторая производная [src]
               /                    2         2               \
     2         |               3*cos (x)   cos (x)*log(sin(x))|
4*log (sin(x))*|-log(sin(x)) + --------- - -------------------|
               |                   2                2         |
               \                sin (x)          sin (x)      /
4(log(sin(x))cos2(x)sin2(x)log(sin(x))+3cos2(x)sin2(x))log2(sin(x))4 \left(- \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) \log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}
Третья производная [src]
  /                                       2           2                       2       2        \                   
  |                      2           6*cos (x)   9*cos (x)*log(sin(x))   2*cos (x)*log (sin(x))|                   
4*|-9*log(sin(x)) + 2*log (sin(x)) + --------- - --------------------- + ----------------------|*cos(x)*log(sin(x))
  |                                      2                 2                       2           |                   
  \                                   sin (x)           sin (x)                 sin (x)        /                   
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                       sin(x)                                                      
4cos(x)sin(x)(2log2(sin(x))+2cos2(x)sin2(x)log2(sin(x))9log(sin(x))9cos2(x)sin2(x)log(sin(x))+6cos2(x)sin2(x))log(sin(x))\frac{4 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \left(2 \log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - 9 \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{9 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}