Производная log(sin(x))^(4)

Вы ввели

   4        
log (sin(x))

$$\log^{4}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{4 \log^{3}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{4 \log^{3}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\tan{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{4 \log^{3}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\tan{\left (x \right )}}$

Первая производная

     3               
4*log (sin(x))*cos(x)
---------------------
        sin(x)       

$$\frac{4 \log^{3}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )}$$

Вторая производная

               /                    2         2               \
     2         |               3*cos (x)   cos (x)*log(sin(x))|
4*log (sin(x))*|-log(sin(x)) + --------- - -------------------|
               |                   2                2         |
               \                sin (x)          sin (x)      /

$$4 \left(- \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) \log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Третья производная

  /                                       2           2                       2       2        \                   
  |                      2           6*cos (x)   9*cos (x)*log(sin(x))   2*cos (x)*log (sin(x))|                   
4*|-9*log(sin(x)) + 2*log (sin(x)) + --------- - --------------------- + ----------------------|*cos(x)*log(sin(x))
  |                                      2                 2                       2           |                   
  \                                   sin (x)           sin (x)                 sin (x)        /                   
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                       sin(x)                                                      

$$\frac{4 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \left(2 \log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - 9 \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{9 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$