Производная log(sin(x))^(2)

Вы ввели

   2        
log (sin(x))

$$\log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\tan{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{2 \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\tan{\left (x \right )}}$

Первая производная

2*cos(x)*log(sin(x))
--------------------
       sin(x)       

$$\frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Вторая производная

  /                  2         2               \
  |               cos (x)   cos (x)*log(sin(x))|
2*|-log(sin(x)) + ------- - -------------------|
  |                  2               2         |
  \               sin (x)         sin (x)      /

$$2 \left(- \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

  /                          2           2               \       
  |                     3*cos (x)   2*cos (x)*log(sin(x))|       
2*|-3 + 2*log(sin(x)) - --------- + ---------------------|*cos(x)
  |                         2                 2          |       
  \                      sin (x)           sin (x)       /       
-----------------------------------------------------------------
                              sin(x)                             

$$\frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \left(2 \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - 3 - \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$