Производная log(sin(x^2))

Вы ввели

   /   / 2\\
log\sin\x //

$$\log{\left (\sin{\left (x^{2} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (x^{2} \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x^{2} \right )}$:

   1. Заменим $u = x^{2}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{2}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате последовательности правил:

      $2 x \cos{\left (x^{2} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 x \cos{\left (x^{2} \right )}}{\sin{\left (x^{2} \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 x}{\tan{\left (x^{2} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{2 x}{\tan{\left (x^{2} \right )}}$

Первая производная

       / 2\
2*x*cos\x /
-----------
     / 2\  
  sin\x /  

$$\frac{2 x \cos{\left (x^{2} \right )}}{\sin{\left (x^{2} \right )}}$$

Вторая производная

  /            / 2\      2    2/ 2\\
  |     2   cos\x /   2*x *cos \x /|
2*|- 2*x  + ------- - -------------|
  |            / 2\         2/ 2\  |
  \         sin\x /      sin \x /  /

$$2 \left(- 2 x^{2} - \frac{2 x^{2} \cos^{2}{\left (x^{2} \right )}}{\sin^{2}{\left (x^{2} \right )}} + \frac{\cos{\left (x^{2} \right )}}{\sin{\left (x^{2} \right )}}\right)$$

Третья производная

    /          2/ 2\      2    3/ 2\      2    / 2\\
    |     3*cos \x /   4*x *cos \x /   4*x *cos\x /|
4*x*|-3 - ---------- + ------------- + ------------|
    |         2/ 2\          3/ 2\          / 2\   |
    \      sin \x /       sin \x /       sin\x /   /

$$4 x \left(\frac{4 x^{2} \cos{\left (x^{2} \right )}}{\sin{\left (x^{2} \right )}} + \frac{4 x^{2} \cos^{3}{\left (x^{2} \right )}}{\sin^{3}{\left (x^{2} \right )}} - 3 - \frac{3 \cos^{2}{\left (x^{2} \right )}}{\sin^{2}{\left (x^{2} \right )}}\right)$$