Производная log(sin(x))^(23)

Вы ввели

   23        
log  (sin(x))

$$\log^{23}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{23}$ получим $23 u^{22}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{23 \log^{22}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{23 \log^{22}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\tan{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{23 \log^{22}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\tan{\left (x \right )}}$

Первая производная

      22               
23*log  (sin(x))*cos(x)
-----------------------
         sin(x)        

$$\frac{23 \log^{22}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )}$$

Вторая производная

                 /                     2         2               \
      21         |               22*cos (x)   cos (x)*log(sin(x))|
23*log  (sin(x))*|-log(sin(x)) + ---------- - -------------------|
                 |                   2                 2         |
                 \                sin (x)           sin (x)      /

$$23 \left(- \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{22 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) \log^{21}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Третья производная

                 /                                       2         2       2                 2               \       
      20         |   2                            231*cos (x)   cos (x)*log (sin(x))   33*cos (x)*log(sin(x))|       
46*log  (sin(x))*|log (sin(x)) - 33*log(sin(x)) + ----------- + -------------------- - ----------------------|*cos(x)
                 |                                     2                 2                       2           |       
                 \                                  sin (x)           sin (x)                 sin (x)        /       
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                        sin(x)                                                       

$$\frac{46 \log^{20}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - 33 \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{33 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{231 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) \cos{\left (x \right )}$$