Производная log(sin(x))^5

Вы ввели

   5        
log (sin(x))

$$\log^{5}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{5}$ получим $5 u^{4}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{5 \log^{4}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{5 \log^{4}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\tan{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{5 \log^{4}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\tan{\left (x \right )}}$

Первая производная

     4               
5*log (sin(x))*cos(x)
---------------------
        sin(x)       

$$\frac{5 \log^{4}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )}$$

Вторая производная

               /                    2         2               \
     3         |               4*cos (x)   cos (x)*log(sin(x))|
5*log (sin(x))*|-log(sin(x)) + --------- - -------------------|
               |                   2                2         |
               \                sin (x)          sin (x)      /

$$5 \left(- \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{4 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) \log^{3}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Третья производная

                /                                    2         2       2                2               \       
      2         |   2                           6*cos (x)   cos (x)*log (sin(x))   6*cos (x)*log(sin(x))|       
10*log (sin(x))*|log (sin(x)) - 6*log(sin(x)) + --------- + -------------------- - ---------------------|*cos(x)
                |                                   2                2                       2          |       
                \                                sin (x)          sin (x)                 sin (x)       /       
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                     sin(x)                                                     

$$\frac{10 \log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - 6 \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) \cos{\left (x \right )}$$