Производная функции/ От одной переменной/ y' = (log(sin(x))^5)'

Производная log(sin(x))^5

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

Примеры

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   5        
log (sin(x))
log⁡5(sin⁡(x))\log^{5}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}
Подробное решение

  1. Заменим u=log⁡(sin⁡(x))u = \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}.

  2. В силу правила, применим: u5u^{5} получим 5u45 u^{4}

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxlog⁡(sin⁡(x))\frac{d}{d x} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}:

    1. Заменим u=sin⁡(x)u = \sin{\left (x \right )}.

    2. Производная log⁡(u)\log{\left (u \right )} является 1u\frac{1}{u}.

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxsin⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}:

      1. Производная синуса есть косинус:

        ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}

      В результате последовательности правил:

      cos⁡(x)sin⁡(x)\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}

    В результате последовательности правил:

    5log⁡4(sin⁡(x))sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{5 \log^{4}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )}

  4. Теперь упростим:

    5log⁡4(sin⁡(x))tan⁡(x)\frac{5 \log^{4}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\tan{\left (x \right )}}

Ответ:

5log⁡4(sin⁡(x))tan⁡(x)\frac{5 \log^{4}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\tan{\left (x \right )}}

График
02468-8-6-4-2-1010-250000250000
Первая производная [src]
     4               
5*log (sin(x))*cos(x)
---------------------
        sin(x)
5log⁡4(sin⁡(x))sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{5 \log^{4}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )}
Упростить
Вторая производная [src]
               /                    2         2               \
     3         |               4*cos (x)   cos (x)*log(sin(x))|
5*log (sin(x))*|-log(sin(x)) + --------- - -------------------|
               |                   2                2         |
               \                sin (x)          sin (x)      /
5(−log⁡(sin⁡(x))−cos⁡2(x)sin⁡2(x)log⁡(sin⁡(x))+4cos⁡2(x)sin⁡2(x))log⁡3(sin⁡(x))5 \left(- \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{4 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) \log^{3}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}
Упростить
Третья производная [src]
                /                                    2         2       2                2               \       
      2         |   2                           6*cos (x)   cos (x)*log (sin(x))   6*cos (x)*log(sin(x))|       
10*log (sin(x))*|log (sin(x)) - 6*log(sin(x)) + --------- + -------------------- - ---------------------|*cos(x)
                |                                   2                2                       2          |       
                \                                sin (x)          sin (x)                 sin (x)       /       
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                     sin(x)
10log⁡2(sin⁡(x))sin⁡(x)(log⁡2(sin⁡(x))+cos⁡2(x)sin⁡2(x)log⁡2(sin⁡(x))−6log⁡(sin⁡(x))−6cos⁡2(x)sin⁡2(x)log⁡(sin⁡(x))+6cos⁡2(x)sin⁡2(x))cos⁡(x)\frac{10 \log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - 6 \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) \cos{\left (x \right )}
Упростить