Производная log(sin(x)^(43))

Вы ввели

   /   43   \
log\sin  (x)/

$$\log{\left (\sin^{43}{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin^{43}{\left (x \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin^{43}{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{43}$ получим $43 u^{42}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $43 \sin^{42}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{43 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{43}{\tan{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{43}{\tan{\left (x \right )}}$

Первая производная

43*cos(x)
---------
  sin(x) 

$$\frac{43 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

    /       2   \
    |    cos (x)|
-43*|1 + -------|
    |       2   |
    \    sin (x)/

$$- 43 \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

   /       2   \       
   |    cos (x)|       
86*|1 + -------|*cos(x)
   |       2   |       
   \    sin (x)/       
-----------------------
         sin(x)        

$$\frac{86 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$