Производная log(sin(x))^(3)

Вы ввели

   3        
log (sin(x))

$$\log^{3}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{3 \log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{3 \log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\tan{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{3 \log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\tan{\left (x \right )}}$

Первая производная

     2               
3*log (sin(x))*cos(x)
---------------------
        sin(x)       

$$\frac{3 \log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /                    2         2               \            
  |               2*cos (x)   cos (x)*log(sin(x))|            
3*|-log(sin(x)) + --------- - -------------------|*log(sin(x))
  |                   2                2         |            
  \                sin (x)          sin (x)      /            

$$3 \left(- \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Третья производная

  /                                  2         2       2                2               \       
  |   2                           cos (x)   cos (x)*log (sin(x))   3*cos (x)*log(sin(x))|       
6*|log (sin(x)) - 3*log(sin(x)) + ------- + -------------------- - ---------------------|*cos(x)
  |                                  2               2                       2          |       
  \                               sin (x)         sin (x)                 sin (x)       /       
------------------------------------------------------------------------------------------------
                                             sin(x)                                             

$$\frac{6 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \left(\log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - 3 \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$