Производная log(tan(2/x))

Вы ввели

   /   /2\\
log|tan|-||
   \   \x//

$$\log{\left (\tan{\left (\frac{2}{x} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (\frac{2}{x} \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (\frac{2}{x} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{2}{x}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{2}{x}\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

            Таким образом, в результате: $- \frac{2}{x^{2}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{2}{x^{2} \cos^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{- \frac{2}{x^{2}} \sin^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} - \frac{2}{x^{2}} \cos^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} \tan{\left (\frac{2}{x} \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{4}{x^{2} \sin{\left (\frac{4}{x} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{4}{x^{2} \sin{\left (\frac{4}{x} \right )}}$

Первая производная

   /       2/2\\
-2*|1 + tan |-||
   \        \x//
----------------
    2    /2\    
   x *tan|-|    
         \x/    

$$- \frac{2 \tan^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} + 2}{x^{2} \tan{\left (\frac{2}{x} \right )}}$$

Вторая производная

                /                    2/2\\
                |             1 + tan |-||
  /       2/2\\ |  1      2           \x/|
4*|1 + tan |-||*|------ + - - -----------|
  \        \x// |   /2\   x         2/2\ |
                |tan|-|        x*tan |-| |
                \   \x/              \x/ /
------------------------------------------
                     3                    
                    x                     

$$\frac{4}{x^{3}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} + 1\right) \left(\frac{1}{\tan{\left (\frac{2}{x} \right )}} - \frac{\tan^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} + 1}{x \tan^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )}} + \frac{2}{x}\right)$$

Третья производная

                /                                          2                                    \
                |                     /2\     /       2/2\\      /       2/2\\     /       2/2\\|
                |                8*tan|-|   4*|1 + tan |-||    6*|1 + tan |-||   8*|1 + tan |-|||
  /       2/2\\ |  12     3           \x/     \        \x//      \        \x//     \        \x//|
4*|1 + tan |-||*|- -- - ------ - -------- - ---------------- + --------------- + ---------------|
  \        \x// |  x       /2\       2          2    3/2\              2/2\          2    /2\   |
                |       tan|-|      x          x *tan |-|         x*tan |-|         x *tan|-|   |
                \          \x/                        \x/               \x/               \x/   /
-------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                 4                                               
                                                x                                                

$$\frac{4}{x^{4}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} + 1\right) \left(- \frac{3}{\tan{\left (\frac{2}{x} \right )}} + \frac{6 \tan^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} + 6}{x \tan^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )}} - \frac{12}{x} - \frac{4 \left(\tan^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} + 1\right)^{2}}{x^{2} \tan^{3}{\left (\frac{2}{x} \right )}} + \frac{8 \tan^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} + 8}{x^{2} \tan{\left (\frac{2}{x} \right )}} - \frac{8}{x^{2}} \tan{\left (\frac{2}{x} \right )}\right)$$