Производная log(tan(e^t))

Вы ввели

   /   / t\\
log\tan\E //

$$\log{\left (\tan{\left (e^{t} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (e^{t} \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} \tan{\left (e^{t} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = e^{t}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} e^{t}$:

         1. Производная $e^{t}$ само оно.

         В результате последовательности правил:

         $\frac{e^{t}}{\cos^{2}{\left (e^{t} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{e^{t} \sin^{2}{\left (e^{t} \right )} + e^{t} \cos^{2}{\left (e^{t} \right )}}{\cos^{2}{\left (e^{t} \right )} \tan{\left (e^{t} \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 e^{t}}{\sin{\left (2 e^{t} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{2 e^{t}}{\sin{\left (2 e^{t} \right )}}$

Первая производная

/       2/ t\\  t
\1 + tan \E //*e 
-----------------
        / t\     
     tan\E /     

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left (e^{t} \right )} + 1\right) e^{t}}{\tan{\left (e^{t} \right )}}$$

Вторая производная

               /                 /       2/ t\\  t\   
/       2/ t\\ |   1         t   \1 + tan \E //*e |  t
\1 + tan \E //*|------- + 2*e  - -----------------|*e 
               |   / t\                  2/ t\    |   
               \tan\E /               tan \E /    /   

$$\left(\tan^{2}{\left (e^{t} \right )} + 1\right) \left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left (e^{t} \right )} + 1\right) e^{t}}{\tan^{2}{\left (e^{t} \right )}} + 2 e^{t} + \frac{1}{\tan{\left (e^{t} \right )}}\right) e^{t}$$

Третья производная

               /                                                                                                2     \   
               |                                    /       2/ t\\  2*t     /       2/ t\\  t     /       2/ t\\   2*t|   
/       2/ t\\ |   1         t      2*t    / t\   4*\1 + tan \E //*e      3*\1 + tan \E //*e    2*\1 + tan \E // *e   |  t
\1 + tan \E //*|------- + 6*e  + 4*e   *tan\E / - --------------------- - ------------------- + ----------------------|*e 
               |   / t\                                     / t\                   2/ t\                  3/ t\       |   
               \tan\E /                                  tan\E /                tan \E /               tan \E /       /   

$$\left(\tan^{2}{\left (e^{t} \right )} + 1\right) \left(\frac{2 \left(\tan^{2}{\left (e^{t} \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left (e^{t} \right )}} e^{2 t} - \frac{4 e^{2 t}}{\tan{\left (e^{t} \right )}} \left(\tan^{2}{\left (e^{t} \right )} + 1\right) - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (e^{t} \right )} + 1\right) e^{t}}{\tan^{2}{\left (e^{t} \right )}} + 4 e^{2 t} \tan{\left (e^{t} \right )} + 6 e^{t} + \frac{1}{\tan{\left (e^{t} \right )}}\right) e^{t}$$