Производная log(tan(5*x))

Вы ввели

log(tan(5*x))

$$\log{\left(\tan{\left(5 x \right)} \right)}$$

d                
--(log(tan(5*x)))
dx               

$$\frac{d}{d x} \log{\left(\tan{\left(5 x \right)} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left(5 x \right)}$.

2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(5 x \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(5 x \right)} = \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\cos{\left(5 x \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 5 x$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 5 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $5$

         В результате последовательности правил:

         $5 \cos{\left(5 x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 5 x$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 5 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $5$

         В результате последовательности правил:

         $- 5 \sin{\left(5 x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x \right)} \tan{\left(5 x \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{10}{\sin{\left(10 x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{10}{\sin{\left(10 x \right)}}$

Первая производная

         2     
5 + 5*tan (5*x)
---------------
    tan(5*x)   

$$\frac{5 \tan^{2}{\left(5 x \right)} + 5}{\tan{\left(5 x \right)}}$$

Вторая производная

   /                                 2\
   |                  /       2     \ |
   |         2        \1 + tan (5*x)/ |
25*|2 + 2*tan (5*x) - ----------------|
   |                        2         |
   \                     tan (5*x)    /

$$25 \left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(5 x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left(5 x \right)}} + 2 \tan^{2}{\left(5 x \right)} + 2\right)$$

Третья производная

                    /                            2                    \
                    |             /       2     \      /       2     \|
    /       2     \ |             \1 + tan (5*x)/    2*\1 + tan (5*x)/|
250*\1 + tan (5*x)/*|2*tan(5*x) + ---------------- - -----------------|
                    |                   3                 tan(5*x)    |
                    \                tan (5*x)                        /

$$250 \left(\tan^{2}{\left(5 x \right)} + 1\right) \left(\frac{\left(\tan^{2}{\left(5 x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left(5 x \right)}} - \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(5 x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(5 x \right)}} + 2 \tan{\left(5 x \right)}\right)$$

График