Производная log(tan(5*x)+2)

Вы ввели

log(tan(5*x) + 2)

$$\log{\left (\tan{\left (5 x \right )} + 2 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (5 x \right )} + 2$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\tan{\left (5 x \right )} + 2\right)$:

   1. дифференцируем $\tan{\left (5 x \right )} + 2$ почленно:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. Заменим $u = 5 x$.

         2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(5 x\right)$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $5$

            В результате последовательности правил:

            $\frac{5}{\cos^{2}{\left (5 x \right )}}$

      2. Производная постоянной $2$ равна нулю.

      В результате: $\frac{1}{\cos^{2}{\left (5 x \right )}} \left(5 \sin^{2}{\left (5 x \right )} + 5 \cos^{2}{\left (5 x \right )}\right)$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{5 \sin^{2}{\left (5 x \right )} + 5 \cos^{2}{\left (5 x \right )}}{\left(\tan{\left (5 x \right )} + 2\right) \cos^{2}{\left (5 x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{5}{\left(\tan{\left (5 x \right )} + 2\right) \cos^{2}{\left (5 x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{5}{\left(\tan{\left (5 x \right )} + 2\right) \cos^{2}{\left (5 x \right )}}$

Первая производная

         2     
5 + 5*tan (5*x)
---------------
  tan(5*x) + 2 

$$\frac{5 \tan^{2}{\left (5 x \right )} + 5}{\tan{\left (5 x \right )} + 2}$$

Вторая производная

                   /                    2     \
   /       2     \ |             1 + tan (5*x)|
25*\1 + tan (5*x)/*|2*tan(5*x) - -------------|
                   \              2 + tan(5*x)/
-----------------------------------------------
                  2 + tan(5*x)                 

$$\frac{25}{\tan{\left (5 x \right )} + 2} \left(2 \tan{\left (5 x \right )} - \frac{\tan^{2}{\left (5 x \right )} + 1}{\tan{\left (5 x \right )} + 2}\right) \left(\tan^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                    /                                 2                             \
                    |                  /       2     \      /       2     \         |
    /       2     \ |         2        \1 + tan (5*x)/    3*\1 + tan (5*x)/*tan(5*x)|
250*\1 + tan (5*x)/*|1 + 3*tan (5*x) + ---------------- - --------------------------|
                    |                                2           2 + tan(5*x)       |
                    \                  (2 + tan(5*x))                               /
-------------------------------------------------------------------------------------
                                     2 + tan(5*x)                                    

$$\frac{250}{\tan{\left (5 x \right )} + 2} \left(\tan^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left (5 x \right )} + 1 - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right) \tan{\left (5 x \right )}}{\tan{\left (5 x \right )} + 2} + \frac{\left(\tan^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right)^{2}}{\left(\tan{\left (5 x \right )} + 2\right)^{2}}\right)$$