Производная log(tan(5*x+1))

Вы ввели

log(tan(5*x + 1))

$$\log{\left(\tan{\left(5 x + 1 \right)} \right)}$$

d                    
--(log(tan(5*x + 1)))
dx                   

$$\frac{d}{d x} \log{\left(\tan{\left(5 x + 1 \right)} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left(5 x + 1 \right)}$.

2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(5 x + 1 \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(5 x + 1 \right)} = \frac{\sin{\left(5 x + 1 \right)}}{\cos{\left(5 x + 1 \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x + 1 \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x + 1 \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 5 x + 1$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(5 x + 1\right)$:

         1. дифференцируем $5 x + 1$ почленно:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $5$

            2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            В результате: $5$

         В результате последовательности правил:

         $5 \cos{\left(5 x + 1 \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 5 x + 1$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(5 x + 1\right)$:

         1. дифференцируем $5 x + 1$ почленно:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $5$

            2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            В результате: $5$

         В результате последовательности правил:

         $- 5 \sin{\left(5 x + 1 \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{5 \sin^{2}{\left(5 x + 1 \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x + 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x + 1 \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{5 \sin^{2}{\left(5 x + 1 \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x + 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x + 1 \right)} \tan{\left(5 x + 1 \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{5}{\cos^{2}{\left(5 x + 1 \right)} \tan{\left(5 x + 1 \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{5}{\cos^{2}{\left(5 x + 1 \right)} \tan{\left(5 x + 1 \right)}}$

Первая производная

         2         
5 + 5*tan (5*x + 1)
-------------------
    tan(5*x + 1)   

$$\frac{5 \tan^{2}{\left(5 x + 1 \right)} + 5}{\tan{\left(5 x + 1 \right)}}$$

Вторая производная

   /                                         2\
   |                      /       2         \ |
   |         2            \1 + tan (1 + 5*x)/ |
25*|2 + 2*tan (1 + 5*x) - --------------------|
   |                            2             |
   \                         tan (1 + 5*x)    /

$$25 \left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(5 x + 1 \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left(5 x + 1 \right)}} + 2 \tan^{2}{\left(5 x + 1 \right)} + 2\right)$$

Третья производная

                        /                                    2                        \
                        |                 /       2         \      /       2         \|
    /       2         \ |                 \1 + tan (1 + 5*x)/    2*\1 + tan (1 + 5*x)/|
250*\1 + tan (1 + 5*x)/*|2*tan(1 + 5*x) + -------------------- - ---------------------|
                        |                       3                     tan(1 + 5*x)    |
                        \                    tan (1 + 5*x)                            /

$$250 \left(\tan^{2}{\left(5 x + 1 \right)} + 1\right) \left(\frac{\left(\tan^{2}{\left(5 x + 1 \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left(5 x + 1 \right)}} - \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(5 x + 1 \right)} + 1\right)}{\tan{\left(5 x + 1 \right)}} + 2 \tan{\left(5 x + 1 \right)}\right)$$

График