Производная log(tan(t))

Вы ввели

log(tan(t))

$$\log{\left (\tan{\left (t \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (t \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} \tan{\left (t \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d t} \tan{\left (t \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (t \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\sin^{2}{\left (t \right )} + \cos^{2}{\left (t \right )}}{\cos^{2}{\left (t \right )} \tan{\left (t \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2}{\sin{\left (2 t \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{2}{\sin{\left (2 t \right )}}$

Первая производная

       2   
1 + tan (t)
-----------
   tan(t)  

$$\frac{\tan^{2}{\left (t \right )} + 1}{\tan{\left (t \right )}}$$

Вторая производная

                             2
                /       2   \ 
         2      \1 + tan (t)/ 
2 + 2*tan (t) - --------------
                      2       
                   tan (t)    

$$- \frac{\left(\tan^{2}{\left (t \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left (t \right )}} + 2 \tan^{2}{\left (t \right )} + 2$$

Третья производная

                /                        2                  \
                |           /       2   \      /       2   \|
  /       2   \ |           \1 + tan (t)/    2*\1 + tan (t)/|
2*\1 + tan (t)/*|2*tan(t) + -------------- - ---------------|
                |                 3               tan(t)    |
                \              tan (t)                      /

$$2 \left(\tan^{2}{\left (t \right )} + 1\right) \left(\frac{\left(\tan^{2}{\left (t \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left (t \right )}} - \frac{2 \tan^{2}{\left (t \right )} + 2}{\tan{\left (t \right )}} + 2 \tan{\left (t \right )}\right)$$