Производная log(tan(x))/2

Вы ввели

log(tan(x))
-----------
     2     

$$\frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{2}$$

d /log(tan(x))\
--|-----------|
dx\     2     /

$$\frac{d}{d x} \frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{2}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$.

   2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\sin{\left(2 x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\sin{\left(2 x \right)}}$

Первая производная

       2   
1 + tan (x)
-----------
  2*tan(x) 

$$\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{2 \tan{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

                           2
              /       2   \ 
       2      \1 + tan (x)/ 
1 + tan (x) - --------------
                     2      
                2*tan (x)   

$$- \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{2 \tan^{2}{\left(x \right)}} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1$$

Третья производная

              /                        2                  \
              |           /       2   \      /       2   \|
/       2   \ |           \1 + tan (x)/    2*\1 + tan (x)/|
\1 + tan (x)/*|2*tan(x) + -------------- - ---------------|
              |                 3               tan(x)    |
              \              tan (x)                      /

$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left(x \right)}} - \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)}} + 2 \tan{\left(x \right)}\right)$$

График