Производная log(tan(x)/2)

Вы ввели

   /tan(x)\
log|------|
   \  2   /

$$\log{\left (\frac{1}{2} \tan{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{1}{2} \tan{\left (x \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{2} \tan{\left (x \right )}\right)$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2}{\sin{\left (2 x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{2}{\sin{\left (2 x \right )}}$

Первая производная

  /       2   \
  |1   tan (x)|
2*|- + -------|
  \2      2   /
---------------
     tan(x)    

$$\frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                             2
                /       2   \ 
         2      \1 + tan (x)/ 
2 + 2*tan (x) - --------------
                      2       
                   tan (x)    

$$- \frac{\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left (x \right )}} + 2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2$$

Третья производная

                /                        2                  \
                |           /       2   \      /       2   \|
  /       2   \ |           \1 + tan (x)/    2*\1 + tan (x)/|
2*\1 + tan (x)/*|2*tan(x) + -------------- - ---------------|
                |                 3               tan(x)    |
                \              tan (x)                      /

$$2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\frac{\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left (x \right )}} - \frac{2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2}{\tan{\left (x \right )}} + 2 \tan{\left (x \right )}\right)$$