Производная log(tan(x)^(22))

Вы ввели

   /   22   \
log\tan  (x)/

$$\log{\left (\tan^{22}{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan^{22}{\left (x \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan^{22}{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{22}$ получим $22 u^{21}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{22 \tan^{21}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{22 \sin^{2}{\left (x \right )} + 22 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{44}{\sin{\left (2 x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{44}{\sin{\left (2 x \right )}}$

Первая производная

           2   
22 + 22*tan (x)
---------------
     tan(x)    

$$\frac{22 \tan^{2}{\left (x \right )} + 22}{\tan{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

   /                             2\
   |                /       2   \ |
   |         2      \1 + tan (x)/ |
22*|2 + 2*tan (x) - --------------|
   |                      2       |
   \                   tan (x)    /

$$22 \left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left (x \right )}} + 2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2\right)$$

Третья производная

                 /                        2                  \
                 |           /       2   \      /       2   \|
   /       2   \ |           \1 + tan (x)/    2*\1 + tan (x)/|
44*\1 + tan (x)/*|2*tan(x) + -------------- - ---------------|
                 |                 3               tan(x)    |
                 \              tan (x)                      /

$$44 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\frac{\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left (x \right )}} - \frac{2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2}{\tan{\left (x \right )}} + 2 \tan{\left (x \right )}\right)$$