Производная log(tan(x))^(3)

Вы ввели

   3        
log (tan(x))

$$\log^{3}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{3 \log^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $\frac{6 \log^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}{\sin{\left (2 x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{6 \log^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}{\sin{\left (2 x \right )}}$

Первая производная

     2         /       2   \
3*log (tan(x))*\1 + tan (x)/
----------------------------
           tan(x)           

$$\frac{3 \log^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}{\tan{\left (x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Вторая производная

                /                  /       2   \   /       2   \            \            
  /       2   \ |                2*\1 + tan (x)/   \1 + tan (x)/*log(tan(x))|            
3*\1 + tan (x)/*|2*log(tan(x)) + --------------- - -------------------------|*log(tan(x))
                |                       2                      2            |            
                \                    tan (x)                tan (x)         /            

$$3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- \frac{\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}{\tan^{2}{\left (x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2}{\tan^{2}{\left (x \right )}} + 2 \log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}\right) \log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$$

Третья производная

                /             2                                        2                               2                                                                         \
                |/       2   \                            /       2   \     2             /       2   \                     2         /       2   \     /       2   \            |
  /       2   \ |\1 + tan (x)/         2                  \1 + tan (x)/ *log (tan(x))   3*\1 + tan (x)/ *log(tan(x))   2*log (tan(x))*\1 + tan (x)/   6*\1 + tan (x)/*log(tan(x))|
6*\1 + tan (x)/*|-------------- + 2*log (tan(x))*tan(x) + --------------------------- - ---------------------------- - ---------------------------- + ---------------------------|
                |      3                                               3                             3                            tan(x)                         tan(x)          |
                \   tan (x)                                         tan (x)                       tan (x)                                                                        /

$$6 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\frac{\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left (x \right )}} \log^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left (x \right )}} \log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} + \frac{\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left (x \right )}} - \frac{2 \log^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}{\tan{\left (x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{6 \log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}{\tan{\left (x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 2 \log^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \tan{\left (x \right )}\right)$$