Производная log(x/e^x)

Вы ввели

   /x \
log|--|
   | x|
   \E /

$$\log{\left (\frac{x}{e^{x}} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{x}{e^{x}}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{e^{x}}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = e^{x}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      Теперь применим правило производной деления:

      $\left(- x e^{x} + e^{x}\right) e^{- 2 x}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{e^{- x}}{x} \left(- x e^{x} + e^{x}\right)$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x} \left(- x + 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x} \left(- x + 1\right)$

Первая производная

/1       -x\  x
|-- - x*e  |*e 
| x        |   
\E         /   
---------------
       x       

$$\frac{e^{x}}{x} \left(- x e^{- x} + \frac{1}{e^{x}}\right)$$

Вторая производная

     -1 + x
-1 + ------
       x   
-----------
     x     

$$\frac{1}{x} \left(-1 + \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)$$

Третья производная

  2*(-2 + x)   2*(-1 + x)   2*(-1 + x)
- ---------- - ---------- + ----------
      x             2           x     
                   x                  
--------------------------------------
                  x                   

$$\frac{1}{x} \left(- \frac{1}{x} \left(2 x - 4\right) + \frac{1}{x} \left(2 x - 2\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(2 x - 2\right)\right)$$