Производная log(x)/cos(x)

Вы ввели

log(x)
------
cos(x)

$$\frac{\log{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\log{\left (x \right )} \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \cos{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x \cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x \log{\left (x \right )} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x \cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x \log{\left (x \right )} \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

   1       log(x)*sin(x)
-------- + -------------
x*cos(x)         2      
              cos (x)   

$$\frac{\log{\left (x \right )} \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{x \cos{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                       2                   
  1    2*sin(x)   2*sin (x)*log(x)         
- -- + -------- + ---------------- + log(x)
   2   x*cos(x)          2                 
  x                   cos (x)              
-------------------------------------------
                   cos(x)                  

$$\frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )} + \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{x \cos{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}\right)$$

Третья производная

                                            2           3          
2    3    3*sin(x)   5*log(x)*sin(x)   6*sin (x)   6*sin (x)*log(x)
-- + - - --------- + --------------- + --------- + ----------------
 3   x    2               cos(x)            2             3        
x        x *cos(x)                     x*cos (x)       cos (x)     
-------------------------------------------------------------------
                               cos(x)                              

$$\frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{6 \sin^{3}{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} + \frac{5 \log{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )} + \frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )}}{x \cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{3}{x} - \frac{3 \sin{\left (x \right )}}{x^{2} \cos{\left (x \right )}} + \frac{2}{x^{3}}\right)$$