Производная log(x)/5^x

Вы ввели

log(x)
------
   x  
  5   

$$\frac{1}{5^{x}} \log{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = 5^{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. $\frac{d}{d x} 5^{x} = 5^{x} \log{\left (5 \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $5^{- 2 x} \left(- 5^{x} \log{\left (5 \right )} \log{\left (x \right )} + \frac{5^{x}}{x}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{5^{- x}}{x} \left(- x \log{\left (5 \right )} \log{\left (x \right )} + 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{5^{- x}}{x} \left(- x \log{\left (5 \right )} \log{\left (x \right )} + 1\right)$

Первая производная

 -x                    
5      -x              
--- - 5  *log(5)*log(x)
 x                     

$$- 5^{- x} \log{\left (5 \right )} \log{\left (x \right )} + \frac{5^{- x}}{x}$$

Вторая производная

 -x /  1       2             2*log(5)\
5  *|- -- + log (5)*log(x) - --------|
    |   2                       x    |
    \  x                             /

$$5^{- x} \left(\log^{2}{\left (5 \right )} \log{\left (x \right )} - \frac{2}{x} \log{\left (5 \right )} - \frac{1}{x^{2}}\right)$$

Третья производная

    /                           2              \
 -x |2       3             3*log (5)   3*log(5)|
5  *|-- - log (5)*log(x) + --------- + --------|
    | 3                        x           2   |
    \x                                    x    /

$$5^{- x} \left(- \log^{3}{\left (5 \right )} \log{\left (x \right )} + \frac{3}{x} \log^{2}{\left (5 \right )} + \frac{3}{x^{2}} \log{\left (5 \right )} + \frac{2}{x^{3}}\right)$$