Производная log(x)/sin(x)

Вы ввели

log(x)
------
sin(x)

$$\frac{\log{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- \log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \sin{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x \sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- x \log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x \sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- x \log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

   1       cos(x)*log(x)
-------- - -------------
x*sin(x)         2      
              sin (x)   

$$- \frac{\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{x \sin{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                       2                   
  1    2*cos(x)   2*cos (x)*log(x)         
- -- - -------- + ---------------- + log(x)
   2   x*sin(x)          2                 
  x                   sin (x)              
-------------------------------------------
                   sin(x)                  

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(\log{\left (x \right )} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{x \sin{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}\right)$$

Третья производная

              3                                                2   
2    3   6*cos (x)*log(x)   5*cos(x)*log(x)    3*cos(x)   6*cos (x)
-- + - - ---------------- - --------------- + --------- + ---------
 3   x          3                sin(x)        2               2   
x            sin (x)                          x *sin(x)   x*sin (x)
-------------------------------------------------------------------
                               sin(x)                              

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(- \frac{5 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} - \frac{6 \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} + \frac{3}{x} + \frac{6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{x \sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{3 \cos{\left (x \right )}}{x^{2} \sin{\left (x \right )}} + \frac{2}{x^{3}}\right)$$