Производная log(x)/(x-1)

Вы ввели

log(x)
------
x - 1 

$$\frac{\log{\left (x \right )}}{x - 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x - 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(- \log{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \left(- x \log{\left (x \right )} + x - 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \left(- x \log{\left (x \right )} + x - 1\right)$

Первая производная

    1        log(x) 
--------- - --------
x*(x - 1)          2
            (x - 1) 

$$- \frac{\log{\left (x \right )}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x - 1\right)}$$

Вторая производная

  1        2         2*log(x)
- -- - ---------- + ---------
   2   x*(-1 + x)           2
  x                 (-1 + x) 
-----------------------------
            -1 + x           

$$\frac{1}{x - 1} \left(\frac{2 \log{\left (x \right )}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 1\right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)$$

Третья производная

2     6*log(x)        3             6     
-- - --------- + ----------- + -----------
 3           3    2                      2
x    (-1 + x)    x *(-1 + x)   x*(-1 + x) 
------------------------------------------
                  -1 + x                  

$$\frac{1}{x - 1} \left(- \frac{6 \log{\left (x \right )}}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{6}{x \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{3}{x^{2} \left(x - 1\right)} + \frac{2}{x^{3}}\right)$$