Производная (log(x)/x)^2

Вы ввели

        2
/log(x)\ 
|------| 
\  x   / 

$$\left(\frac{1}{x} \log{\left (x \right )}\right)^{2}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{1}{x} \log{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x} \log{\left (x \right )}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{1}{x^{2}} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right)$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2}{x^{3}} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (x \right )}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2}{x^{3}} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \log{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{2}{x^{3}} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \log{\left (x \right )}$

Первая производная

     2                   
  log (x) /2    2*log(x)\
x*-------*|-- - --------|
      2   | 2       2   |
     x    \x       x    /
-------------------------
          log(x)         

$$\frac{\frac{1}{x} \log^{2}{\left (x \right )}}{\log{\left (x \right )}} \left(- \frac{2}{x^{2}} \log{\left (x \right )} + \frac{2}{x^{2}}\right)$$

Вторая производная

  /                    2                                                         \
2*\-1 + 2*(-1 + log(x))  + (-3 + 2*log(x))*log(x) - (-1 + log(x))*log(x) + log(x)/
----------------------------------------------------------------------------------
                                         4                                        
                                        x                                         

$$\frac{1}{x^{4}} \left(4 \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2} - 2 \left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \log{\left (x \right )} + 2 \left(2 \log{\left (x \right )} - 3\right) \log{\left (x \right )} + 2 \log{\left (x \right )} - 2\right)$$

Третья производная

  /                                                                           2                                                                              /                    2   \\
  |                              2                             2*(-1 + log(x))                                                               2*(-1 + log(x))*\1 - 5*log(x) + 3*log (x)/|
2*|3 - 3*log(x) + 2*(-1 + log(x))  - (-11 + 6*log(x))*log(x) - ---------------- - 2*(-1 + log(x))*(-3 + 2*log(x)) + 2*(-1 + log(x))*log(x) - ------------------------------------------|
  \                                                                 log(x)                                                                                     log(x)                  /
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                            5                                                                                           
                                                                                           x                                                                                            

$$\frac{1}{x^{5}} \left(4 \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2} - \frac{4 \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}{\log{\left (x \right )}} - 4 \left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \left(2 \log{\left (x \right )} - 3\right) - \frac{4}{\log{\left (x \right )}} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \left(3 \log^{2}{\left (x \right )} - 5 \log{\left (x \right )} + 1\right) + 4 \left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \log{\left (x \right )} - 2 \left(6 \log{\left (x \right )} - 11\right) \log{\left (x \right )} - 6 \log{\left (x \right )} + 6\right)$$