Производная (log(x)/x)^3

Вы ввели

        3
/log(x)\ 
|------| 
\  x   / 

$$\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x}\right)^{3}$$

  /        3\
d |/log(x)\ |
--||------| |
dx\\  x   / /

$$\frac{d}{d x} \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x}\right)^{3}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$.

2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = x$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная $\log{\left(x \right)}$ является $\frac{1}{x}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{1 - \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{3 \cdot \left(1 - \log{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{4}}$

---

Ответ:

$\frac{3 \cdot \left(1 - \log{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \right)}^{2}}{x^{4}}$

Первая производная

     3                   
  log (x) /3    3*log(x)\
x*-------*|-- - --------|
      3   | 2       2   |
     x    \x       x    /
-------------------------
          log(x)         

$$\frac{x \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{x^{3}} \left(- \frac{3 \log{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}\right)}{\log{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

  /                    2                                                         \       
3*\-1 + 3*(-1 + log(x))  + (-3 + 2*log(x))*log(x) - (-1 + log(x))*log(x) + log(x)/*log(x)
-----------------------------------------------------------------------------------------
                                             5                                           
                                            x                                            

$$\frac{3 \cdot \left(3 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2} - \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)} + \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right) \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{5}}$$

Третья производная

  /                    2                               2                          2                                                               /                    2   \                  2               2                                                                   \
3*\-1 - 3*(-1 + log(x))  + (-3 + 2*log(x))*log(x) - log (x)*(-11 + 6*log(x)) - log (x)*(-3 + 2*log(x)) - 5*(-1 + log(x))*log(x) - 3*(-1 + log(x))*\2 - 7*log(x) + 4*log (x)/ + 3*(-1 + log(x)) *log(x) + 3*log (x)*(-1 + log(x)) - 3*(-1 + log(x))*(-3 + 2*log(x))*log(x) + log(x)/
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                          6                                                                                                                                        
                                                                                                                                         x                                                                                                                                         

$$\frac{3 \cdot \left(3 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \log{\left(x \right)} - 3 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2} - 3 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right) \log{\left(x \right)} - 3 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \left(4 \log{\left(x \right)}^{2} - 7 \log{\left(x \right)} + 2\right) + 3 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)}^{2} - 5 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)} - \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right) \log{\left(x \right)}^{2} + \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right) \log{\left(x \right)} - \left(6 \log{\left(x \right)} - 11\right) \log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)} - 1\right)}{x^{6}}$$

График