Производная log(x-cos(x))^(5)

Вы ввели

   5            
log (x - cos(x))

$$\log^{5}{\left (x - \cos{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (x - \cos{\left (x \right )} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{5}$ получим $5 u^{4}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (x - \cos{\left (x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = x - \cos{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - \cos{\left (x \right )}\right)$:

      1. дифференцируем $x - \cos{\left (x \right )}$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

            Таким образом, в результате: $\sin{\left (x \right )}$

         В результате: $\sin{\left (x \right )} + 1$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\sin{\left (x \right )} + 1}{x - \cos{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{5 \log^{4}{\left (x - \cos{\left (x \right )} \right )}}{x - \cos{\left (x \right )}} \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{5 \log^{4}{\left (x - \cos{\left (x \right )} \right )}}{x - \cos{\left (x \right )}} \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)$

Первая производная

     4                         
5*log (x - cos(x))*(1 + sin(x))
-------------------------------
           x - cos(x)          

$$\frac{5 \log^{4}{\left (x - \cos{\left (x \right )} \right )}}{x - \cos{\left (x \right )}} \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)$$

Вторая производная

                   /                                       2               2                \
     3             |                         4*(1 + sin(x))    (1 + sin(x)) *log(x - cos(x))|
5*log (x - cos(x))*|cos(x)*log(x - cos(x)) + --------------- - -----------------------------|
                   \                            x - cos(x)               x - cos(x)         /
---------------------------------------------------------------------------------------------
                                          x - cos(x)                                         

$$\frac{5 \log^{3}{\left (x - \cos{\left (x \right )} \right )}}{x - \cos{\left (x \right )}} \left(\log{\left (x - \cos{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )} - \frac{\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{x - \cos{\left (x \right )}} \log{\left (x - \cos{\left (x \right )} \right )} + \frac{4 \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{x - \cos{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

                   /                                           3                  3                                 3    2                    2                                                                         \
     2             |     2                      12*(1 + sin(x))    12*(1 + sin(x)) *log(x - cos(x))   2*(1 + sin(x)) *log (x - cos(x))   3*log (x - cos(x))*(1 + sin(x))*cos(x)   12*(1 + sin(x))*cos(x)*log(x - cos(x))|
5*log (x - cos(x))*|- log (x - cos(x))*sin(x) + ---------------- - -------------------------------- + -------------------------------- - -------------------------------------- + --------------------------------------|
                   |                                         2                          2                                  2                           x - cos(x)                               x - cos(x)              |
                   \                             (x - cos(x))               (x - cos(x))                       (x - cos(x))                                                                                             /
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                        x - cos(x)                                                                                                       

$$\frac{5 \log^{2}{\left (x - \cos{\left (x \right )} \right )}}{x - \cos{\left (x \right )}} \left(- \log^{2}{\left (x - \cos{\left (x \right )} \right )} \sin{\left (x \right )} - \frac{3 \log^{2}{\left (x - \cos{\left (x \right )} \right )}}{x - \cos{\left (x \right )}} \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} + \frac{12 \cos{\left (x \right )}}{x - \cos{\left (x \right )}} \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (x - \cos{\left (x \right )} \right )} + \frac{2 \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{3}}{\left(x - \cos{\left (x \right )}\right)^{2}} \log^{2}{\left (x - \cos{\left (x \right )} \right )} - \frac{12 \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{3}}{\left(x - \cos{\left (x \right )}\right)^{2}} \log{\left (x - \cos{\left (x \right )} \right )} + \frac{12 \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)^{3}}{\left(x - \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}\right)$$