Производная log(x-1/x)

Вы ввели

   /    1\
log|x - -|
   \    x/

$$\log{\left (x - \frac{1}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x - \frac{1}{x}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - \frac{1}{x}\right)$:

   1. дифференцируем $x - \frac{1}{x}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{x^{2}}$

      В результате: $1 + \frac{1}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{2} - 1\right)}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{2} - 1\right)}$

Первая производная

    1 
1 + --
     2
    x 
------
    1 
x - - 
    x 

$$\frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$$

Вторая производная

 /             2\ 
 |     /    1 \ | 
 |     |1 + --| | 
 |     |     2| | 
 |2    \    x / | 
-|-- + ---------| 
 | 3         1  | 
 |x      x - -  | 
 \           x  / 
------------------
          1       
      x - -       
          x       

$$- \frac{1}{x - \frac{1}{x}} \left(\frac{\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{x - \frac{1}{x}} + \frac{2}{x^{3}}\right)$$

Третья производная

  /             3             \
  |     /    1 \      /    1 \|
  |     |1 + --|    3*|1 + --||
  |     |     2|      |     2||
  |3    \    x /      \    x /|
2*|-- + --------- + ----------|
  | 4           2    3 /    1\|
  |x     /    1\    x *|x - -||
  |      |x - -|       \    x/|
  \      \    x/              /
-------------------------------
                 1             
             x - -             
                 x             

$$\frac{1}{x - \frac{1}{x}} \left(\frac{2 \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{3}}{\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2}} + \frac{6 + \frac{6}{x^{2}}}{x^{3} \left(x - \frac{1}{x}\right)} + \frac{6}{x^{4}}\right)$$