Производная log(x-1)/x

Вы ввели

log(x - 1)
----------
    x     

$$\frac{1}{x} \log{\left (x - 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (x - 1 \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x - 1$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - 1\right)$:

      1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x - 1}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(\frac{x}{x - 1} - \log{\left (x - 1 \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x^{2} \left(x - 1\right)} \left(x - \left(x - 1\right) \log{\left (x - 1 \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2} \left(x - 1\right)} \left(x - \left(x - 1\right) \log{\left (x - 1 \right )}\right)$

Первая производная

    1       log(x - 1)
--------- - ----------
x*(x - 1)        2    
                x     

$$\frac{1}{x \left(x - 1\right)} - \frac{1}{x^{2}} \log{\left (x - 1 \right )}$$

Вторая производная

      1           2        2*log(-1 + x)
- --------- - ---------- + -------------
          2   x*(-1 + x)          2     
  (-1 + x)                       x      
----------------------------------------
                   x                    

$$\frac{1}{x} \left(- \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 1\right)} + \frac{2}{x^{2}} \log{\left (x - 1 \right )}\right)$$

Третья производная

    2       6*log(-1 + x)        3             6     
--------- - ------------- + ----------- + -----------
        3          3                  2    2         
(-1 + x)          x         x*(-1 + x)    x *(-1 + x)
-----------------------------------------------------
                          x                          

$$\frac{1}{x} \left(\frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{3}{x \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{6}{x^{2} \left(x - 1\right)} - \frac{6}{x^{3}} \log{\left (x - 1 \right )}\right)$$