Производная log(x-1)/(x+1)

Вы ввели

log(x - 1)
----------
  x + 1   

$$\frac{\log{\left (x - 1 \right )}}{x + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (x - 1 \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x - 1$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - 1\right)$:

      1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x - 1}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(- \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{x + 1}{x - 1}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}} \left(x - \left(x - 1\right) \log{\left (x - 1 \right )} + 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}} \left(x - \left(x - 1\right) \log{\left (x - 1 \right )} + 1\right)$

Первая производная

       1          log(x - 1)
--------------- - ----------
(x + 1)*(x - 1)           2 
                   (x + 1)  

$$- \frac{\log{\left (x - 1 \right )}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}$$

Вторая производная

      1              2           2*log(-1 + x)
- --------- - ---------------- + -------------
          2   (1 + x)*(-1 + x)             2  
  (-1 + x)                          (1 + x)   
----------------------------------------------
                    1 + x                     

$$\frac{1}{x + 1} \left(\frac{2}{\left(x + 1\right)^{2}} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

    2       6*log(-1 + x)           3                   6        
--------- - ------------- + ----------------- + -----------------
        3             3                     2          2         
(-1 + x)       (1 + x)      (1 + x)*(-1 + x)    (1 + x) *(-1 + x)
-----------------------------------------------------------------
                              1 + x                              

$$\frac{1}{x + 1} \left(- \frac{6}{\left(x + 1\right)^{3}} \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{6}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{3}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)$$