Производная log((x-3)/(x+2))

Вы ввели

   /x - 3\
log|-----|
   \x + 2/

$$\log{\left (\frac{x - 3}{x + 2} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{x - 3}{x + 2}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x - 3}{x + 2}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x - 3$ и $g{\left (x \right )} = x + 2$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x - 3$ почленно:

         1. Производная постоянной $-3$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x + 2$ почленно:

         1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{5}{\left(x + 2\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{5 x + 10}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{5}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}$

---

Ответ:

$\frac{5}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}$

Первая производная

        /  1      x - 3  \
(x + 2)*|----- - --------|
        |x + 2          2|
        \        (x + 2) /
--------------------------
          x - 3           

$$\frac{1}{x - 3} \left(x + 2\right) \left(- \frac{x - 3}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{x + 2}\right)$$

Вторая производная

/     -3 + x\ /  1        1  \
|-1 + ------|*|------ + -----|
\     2 + x / \-3 + x   2 + x/
------------------------------
            -3 + x            

$$\frac{1}{x - 3} \left(\frac{x - 3}{x + 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 3}\right)$$

Третья производная

  /     -3 + x\ /      1          1              1        \
2*|-1 + ------|*|- --------- - -------- - ----------------|
  \     2 + x / |          2          2   (-3 + x)*(2 + x)|
                \  (-3 + x)    (2 + x)                    /
-----------------------------------------------------------
                           -3 + x                          

$$\frac{2}{x - 3} \left(\frac{x - 3}{x + 2} - 1\right) \left(- \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)} - \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)$$