Производная log(x+2)/(x-2)

Вы ввели

log(x + 2)
----------
  x - 2   

$$\frac{\log{\left (x + 2 \right )}}{x - 2}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (x + 2 \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x - 2$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x + 2$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 2\right)$:

      1. дифференцируем $x + 2$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $2$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x + 2}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x - 2$ почленно:

      1. Производная постоянной $-2$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \left(\frac{x - 2}{x + 2} - \log{\left (x + 2 \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 2\right)} \left(x - \left(x + 2\right) \log{\left (x + 2 \right )} - 2\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 2\right)} \left(x - \left(x + 2\right) \log{\left (x + 2 \right )} - 2\right)$

Первая производная

       1          log(x + 2)
--------------- - ----------
(x - 2)*(x + 2)           2 
                   (x - 2)  

$$\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 2\right)} - \frac{\log{\left (x + 2 \right )}}{\left(x - 2\right)^{2}}$$

Вторая производная

     1              2           2*log(2 + x)
- -------- - ---------------- + ------------
         2   (-2 + x)*(2 + x)            2  
  (2 + x)                        (-2 + x)   
--------------------------------------------
                   -2 + x                   

$$\frac{1}{x - 2} \left(- \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 2\right) \left(x + 2\right)} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}} \log{\left (x + 2 \right )}\right)$$

Третья производная

   2       6*log(2 + x)           3                   6        
-------- - ------------ + ----------------- + -----------------
       3            3                     2           2        
(2 + x)     (-2 + x)      (-2 + x)*(2 + x)    (-2 + x) *(2 + x)
---------------------------------------------------------------
                             -2 + x                            

$$\frac{1}{x - 2} \left(\frac{2}{\left(x + 2\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 2\right) \left(x + 2\right)^{2}} + \frac{6}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 2\right)} - \frac{6}{\left(x - 2\right)^{3}} \log{\left (x + 2 \right )}\right)$$